Mathématiques de base Exemples

$\frac{\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} + 2 \sqrt{2}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} + 2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} + 2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} + 2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{(\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{3} - 2 \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + 2 \sqrt{2}) (\sqrt{3} - 2 \sqrt{2})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{3} - 2 \sqrt{2})}{{\sqrt{3}}^{2} - 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{6} - 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{3} - 2 \sqrt{2})}{- 5}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Élevez $\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{3} - 2 \sqrt{2})}^{1} (\sqrt{3} - 2 \sqrt{2})}{- 5}$

Étape 3.2

Élevez $\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{3} - 2 \sqrt{2})}^{1} {(\sqrt{3} - 2 \sqrt{2})}^{1}}{- 5}$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(\sqrt{3} - 2 \sqrt{2})}^{1 + 1}}{- 5}$

Étape 3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(\sqrt{3} - 2 \sqrt{2})}^{2}}{- 5}$

Étape 4

Réécrivez ${(\sqrt{3} - 2 \sqrt{2})}^{2}$ comme $(\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{3} - 2 \sqrt{2})$ .

$\frac{(\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{3} - 2 \sqrt{2})}{- 5}$

Étape 5

Développez $(\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{3} - 2 \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3} (\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (\sqrt{3} - 2 \sqrt{2})}{- 5}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (\sqrt{3} - 2 \sqrt{2})}{- 5}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{3} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})}{- 5}$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{3} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})}{- 5}$

Étape 6.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{9} + \sqrt{3} (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{3} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})}{- 5}$

Étape 6.1.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{3} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})}{- 5}$

Étape 6.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{3 + \sqrt{3} (- 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{3} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})}{- 5}$

Étape 6.1.5

Multipliez $\sqrt{3} (- 2 \sqrt{2})$ .

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Étape 6.1.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{3 - 2 \sqrt{3 \cdot 2} - 2 \sqrt{2} \sqrt{3} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})}{- 5}$

Étape 6.1.5.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2} \sqrt{3} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})}{- 5}$

Étape 6.1.6

Multipliez $- 2 \sqrt{2} \sqrt{3}$ .

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Étape 6.1.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{3 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{3 \cdot 2} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})}{- 5}$

Étape 6.1.6.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})}{- 5}$

Étape 6.1.7

Multipliez $- 2 \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})$ .

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Étape 6.1.7.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6} + 4 \sqrt{2} \sqrt{2}}{- 5}$

Étape 6.1.7.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6} + 4 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{- 5}$

Étape 6.1.7.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6} + 4 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{- 5}$

Étape 6.1.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6} + 4 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{- 5}$

Étape 6.1.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6} + 4 {\sqrt{2}}^{2}}{- 5}$

Étape 6.1.8

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 6.1.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6} + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 5}$

Étape 6.1.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6} + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 5}$

Étape 6.1.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{- 5}$

Étape 6.1.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{- 5}$

Étape 6.1.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6} + 4 \cdot 2^{1}}{- 5}$

Étape 6.1.8.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6} + 4 \cdot 2}{- 5}$

Étape 6.1.9

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{3 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6} + 8}{- 5}$

Étape 6.2

Additionnez $3$ et $8$ .

$\frac{11 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6}}{- 5}$

Étape 6.3

Soustrayez $2 \sqrt{6}$ de $- 2 \sqrt{6}$ .

$\frac{11 - 4 \sqrt{6}}{- 5}$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{11 - 4 \sqrt{6}}{5}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{11 - 4 \sqrt{6}}{5}$

Forme décimale :

$- 0.24040820 \dots$